50) 파동함수의 물리적 의미
슈뢰딩거의 파동방정식의 존재와 그 해인 파동함수가 알려지자 물리학자들 사이에서도 해석이 분분했다.
다음과 같이 나열됩니다.
1. 슈뢰딩거: 먼저 슈뢰딩거 자신이 입자에 해당하는 물질 파동을 나타내는 파동 함수 $|\Psi(x,t)|^2$의 제곱이 공간에 분포되어 있음을 확인했습니다.
따라서 Bohr-Sommerfeld 원자 모델에서와 같이 전자 궤도를 도입하지 않아도 되므로 양자 도약 문제도 해결됩니다.
입자는 더 이상 존재하지 않고 전자는 원자의 다발로 존재하기 때문에 방정식에 전하를 나타내는 부분이 있어야 한다고 생각했기 때문에 $|\Psi(x,t)|^2$는 “전하 밀도”를 의미합니다.
전자의. 라고 해석했다
그러나 전자와 같은 입자를 파동으로만 해석하면 광전 효과와 콤프턴 산란 실험 결과를 설명할 수 없다.
파동 함수의 제곱이 전자의 전하 밀도라면 위에서 설명한 것처럼 공간에서 전파됩니다.
이것은 분명히 모순입니다.
2. 드 브로이: De Broglie는 파동 함수 $\Psi(x, t)$가 입자 자체, 즉 “밀도”라고 생각했습니다.
3. 출생(M. Born): Born은 이 입자 $|\Psi(x, t)|^2$를 발견했습니다.
‘확률 밀도’주장. 즉, 시간 $t$와 공간 $x(\mathbf{r})$에서 입자를 발견할 단위 길이(부피)당 확률입니다.
예를 들어 Compton 산란 실험을 고려하십시오. 전자는 광자와 충돌한 후 일정한 각도로 흩어지지만 파동이라면 일정한 방향으로 흩어지는 것은 불가능하다.
Born에 따르면 이것은 전자를 발견할 확률이 가장 큰 산란각을 따른다는 것을 의미하며, 산란된 파동은 실제 입자가 튀는 것이 아니라 입자를 발견할 확률이라는 것을 의미합니다.
그는 또한 상자를 반으로 나누고 그 중 하나에 전자를 배치하는 사고 실험을 수행했습니다.
이때 전자는 항상 두 영역 중 하나에 존재하며 공유되지 않고 두 영역 사이에서 완전히 분리됩니다.
이는 두 지역 중 한 지역에서 발견될 확률로 이해할 수 있습니다.
즉, 그는 특정 위치에서 전자를 찾을 확률이 파동 함수와 관련이 있으며 실제 파동 운동을 설명하지 않는다는 것을 발견했습니다.
입자의 미래를 정확하게 예측하는 것은 불가능하며 확률만 논의할 수 있습니다.
양자역학에서는 충돌의 결과를 결정하는 개별 요소가 없습니다.
나는 원자 세계에서 결정론을 포기하고 싶다.
-맥스 본-
대부분의 물리학자들은 보른의 해석을 받아들였고, 결국 양자역학은 파동함수의 확률론적 해석을 바탕으로 진화했다.
아이러니하게도 양자역학의 기초를 닦은 아인슈타인과 슈뢰딩거는 보른의 해석을 받아들일 수 없었다.
51) 파동함수의 모양과 성질
더 설명했듯이 파동 함수 $\Psi(x,t)$는 복잡한 함수이며 그 자체로는 물리적 의미가 없습니다.
참고 문헌에 제공된 예는 다음과 같습니다.
가우시안 함수로 표현할 수 있는 자유입자의 파동함수는 다음과 같이 복소수 가우시안 파동다발로 주어진다.
$$\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{\sigma (1 + \frac{i\alpha t}{\sigma^2})\sqrt{\pi}}} e^{ -\frac{(x – v_g t)^2}{\sigma^2 + (\frac{\alpha t}{\sigma })^2}}$$ 이 경우 파동 함수 결과의 제곱
$$|\Psi(x, t)|^2 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{\sqrt{\sigma^2 + (\frac{\alpha t}{ \sigma})^2}} e^{-\frac{(x – v_g t)^2}{\sigma^2 + (\frac{\alpha t}{\sigma })^2}}$$ , 우리는 실제 기능을 얻습니다.
즉, 확률 밀도를 나타내는 $|\Psi(x,t)|^2$는 항상 실수이며, 그림 1과 같이 파동 다발의 진폭은 시간이 지남에 따라 감소하고 폭은 증가합니다.
이것은 주어진 위치에서 입자를 찾을 확률이 시간이 지남에 따라 점차 감소한다는 것을 의미합니다.
파동함수는 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 해이며 파동함수가 만족하는 조건은 여러 가지가 있다.
다음과 같이 세십시오.
1. 정규화: $|\Psi(x, t)|^2$는 주어진 위치에서 입자를 찾을 확률 밀도이므로 모든 공간에 대한 적분 값은 유한해야 합니다.
즉, 입자가 고려된 공간에 존재해야 한다면,
$$\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 dx = 1$$. 이를 만족하는 파동함수를 “정규화”라고 합니다.
위의 예시에서 다룬 가우시안 함수도 표준화되어 있음을 알 수 있다.
2. 단사: 물론 특정 장소와 특정 시간에 입자를 발견할 확률은 하나뿐이므로 파동 함수는 1가, 즉 단사이어야 합니다.
3. 연속적이고 미분 가능: 근접한 입자를 발견할 확률은 갑자기 변할 수 없기 때문에 파동 함수는 연속적이어야 하며 미분을 처리해야 하기 때문에 미분 가능해야 합니다.
이들의 미분도 단조적이며 연속적이어야 합니다.
위의 조건을 모두 만족하는 파동함수는 ‘잘 동작한다'(예의 바르다) 파동함수라고 한다.